Differentiation

Differentiation

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• 평균변화율: 함수 $f:X \to Y$ 의 정의역과 공역을 각각 $x \in X, y \in Y$ 라고 했을 때, 구간 $[x,a]$ 에서 $x$ 의 변화 $\Delta x$ 에 따른 $y$ 의 평균적인 변화폭 $\Delta y / \Delta x$

  \[\begin{aligned} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{aligned}\]

• 순간변화율: $x \to a$ 일 때 구간 $[x,a]$ 에서 $x$ 의 변화 $\Delta x$ 에 따른 $y$ 의 평균적인 변화폭 $\Delta y / \Delta x$ 으로서, 즉, $\Delta x \to 0$ 일 때 $y$ 의 평균변화율

  \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{x \to a}{\frac{f(x) - f(a)}{x-a}} =\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} \end{aligned}\]

• 미분(Differentiation): 함수 $f:X \to Y$ 의 정의역과 공역을 각각 $x \in X, y \in Y$ 라고 했을 때, $x \in X$ 의 변화에 따른 $y \in Y$ 의 순간변화율을 구하는 연산자

  \[\begin{aligned} f^{\prime}(x) &= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} \end{aligned}\]
• 연산 규칙:
  • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\alpha=0$
  • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\alpha f(x)=\alpha \cdot \displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$
  • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n}=n \cdot x^{n-1}$
  • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)+g(x)]=\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)+\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)$
  • $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)g(x)]=g(x) \cdot \displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)+f(x)\cdot\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)$

• 연쇄 법칙(Chain Rule): 합성함수의 미분법으로서, $y=f(u),u=g(x)$ 가 각각 $u \in U,x \in X$ 전체에 대하여 미분 가능한 경우 다음이 성립함

  \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \times \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \end{aligned}\]

Natural Logarithm

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• 자연로그의 미분법:

  \[\begin{aligned} \ln{x} &=\int_{t=1}^{t=x}{\frac{1}{t}\mathrm{d}t}\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{t=1}^{t=x}{\frac{1}{t}\mathrm{d}t}=\frac{1}{x} \end{aligned}\]

• 상수 $e$ 에 대한 지수함수의 미분법:

  \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{x} &= e^{x} \end{aligned}\]

  • 임의의 상수 $a$ 에 대하여 정의된 지수함수 $f(x)=a^{x}$ 의 순간변화율:

    \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{x} &= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}\\ &= a^{x} \end{aligned}\]

  • 좌변에서 $\lim_{\Delta x \to 0}{a^{x}}$ 를 소거하면:

    \[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}} &= a^{x}\\ \lim_{\Delta x \to 0}{a^{x}} \times \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}} &= a^{x}\\ a^{x} \times \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}} &= a^{x}\\ \therefore \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}} &= 1 \end{aligned}\]

  • 좌변에서 $\lim_{\Delta x \to 0}{1/\Delta x}$ 를 소거하면:

    \[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}} &= 1\\ \frac{\lim_{\Delta x \to 0}{(a^{\Delta x}-1)}}{\lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x}} &= 1\\ \lim_{\Delta x \to 0}{(a^{\Delta x}-1)} &= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x} \end{aligned}\]

  • 좌변에서 $\lim_{\Delta x \to 0}{1}$ 을 소거하면:

    \[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}{(a^{\Delta x}-1)} &= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x}\\ \lim_{\Delta x \to 0}{a^{\Delta x}}-\lim_{\Delta x \to 0}{1} &= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x}\\ \lim_{\Delta x \to 0}{a^{\Delta x}} &= \lim_{\Delta x \to 0}{1} + \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta x}\\ \therefore \lim_{\Delta x \to 0}{a^{\Delta x}} &= \lim_{\Delta x \to 0}{(1 + \Delta x)} \end{aligned}\]

  • 양변을 $1/\Delta x$ 제곱하면:

    \[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0}{a^{\Delta x}} &= \lim_{\Delta x \to 0}{(1 + \Delta x)}\\ \lim_{\Delta x \to 0}{a} &= \lim_{\Delta x \to 0}{(1 + \Delta x)^{1/\Delta x}}\\ \therefore a &= \lim_{\Delta x \to 0}{(1 + \Delta x)^{1/\Delta x}} \end{aligned}\]

  • $\Delta x$ 를 $1/n$ 으로 치환하면:

    \[\begin{aligned} a &= \lim_{\Delta x \to 0}{(1 + \Delta x)^{1/\Delta x}}\\ &= \lim_{n \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}}\\ &= e \end{aligned}\]