Differentiation

What? Differentiation

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• 미분(Differentiation)
  • 설명변수 $x$ 에 대한 반응변수 $y$ 의 순간변화율
  • 설명변수 $x$ 가 $\Delta x$ 만큼 변화할 때 $y$ 는 얼마만큼 변화하는가

• 평균변화율의 이해

  

  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여

  • 다음을 구간 $[x,a]$ 에서 $x$ 에 대한 $y$ 의 평균변화율이라고 정의함

    \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x} &=\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=\displaystyle\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{aligned}\]

• 순간변화율의 이해

  \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{d y}{d x} &=\lim_{x \rightarrow a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{aligned}\]
  • $x \rightarrow a$ 일 때 구간 $[x,a]$ 에서 $x$ 에 대한 $y$ 의 평균변화율
  • $\Delta x \rightarrow 0$ 일 때 $x$ 에 대한 $y$ 의 평균변화율
  • 즉, $x$ 의 변화폭이 0에 한없이 가까워질 때 $y$ 의 변화폭
• 미분 가능하다는 말의 의미
  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여
  • $x=a$ 에서 순간변화율 값이 존재하면 $f$ 는 $x=a$ 에서 미분 가능하다고 말함
  • 모든 정의역에 대하여 미분 가능하다면 $f$ 는 $x$ 에 대하여 미분 가능하다고 말함
• 성질

  • $x$ 에 대하여 미분 가능한 함수 $f(x), g(x)$ 와 상수 $\alpha$ 에 대하여 다음이 성립함

    • $\displaystyle\frac{d}{dx}\alpha=0$
    • $\displaystyle\frac{d}{dx}(\alpha \times f(x)) = \alpha \times (\displaystyle\frac{d}{dx}f(x))$
    • $\displaystyle\frac{d}{dx}x^n=n \times x^{n-1}$
    • $\displaystyle\frac{d}{dx}(f(x)\pm g(x))=\displaystyle\frac{d}{dx}f(x) \pm \frac{d}{dx}g(x)$
    • $\displaystyle\frac{d}{dx}(f(x)\times g(x))=(\displaystyle\frac{d}{dx}f(x))\times g(x) + f(x) \times (\displaystyle\frac{d}{dx}g(x))$
    • $\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\big( (\displaystyle\frac{d}{dx}f(x))\times g(x) - f(x) \times (\displaystyle\frac{d}{dx}g(x)) \big) \times \displaystyle\frac{1}{(g(x))^2}$

합성함수의 미분법

• 연쇄법칙(Chain Rule)

  • $y=f(u)$ 가 $u$ 에 대하여 미분 가능하고, $u=g(x)$ 가 $x$ 에 대하여 미분 가능한 경우 다음이 성립함

    \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{dy}{dx} &=\displaystyle\frac{dy}{du}\times \displaystyle\frac{du}{dx} \\ &=\displaystyle\frac{d}{du}f(u) \times \displaystyle\frac{d}{dx}g(x) \end{aligned}\]
• 예시

  • $y=(3x+2)^5$

    \[\begin{aligned} y&=u^5,\\ u&=3x+2 \\\\ \therefore \displaystyle\frac{dy}{dx} &=\frac{d}{du}u^5 \times \displaystyle\frac{d}{dx}(3x+2) \\ &=5u^4 \times 3 \\ &=15(3x+2)^4 \end{aligned}\]

자연로그의 밑의 미분법

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자연로그의 밑의 이해

• 자연로그함수의 정의 : 기호 $e$ 로 표기되는 특정 상수를 밑으로 하는 로그함수

  \[\begin{aligned} f(x) &=\log_e x \\ &=\ln x\\ &=\displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle\frac{1}{t}dt \end{aligned}\]

• 자연로그의 밑의 정의 : 자연로그함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(x)=1$ 을 만족하는 양의 실수 $x$

  \[\begin{aligned} f(x) &=\displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle\frac{1}{t}dt \\ &=\log_{e} x \\ &=1 \\\\ \Leftrightarrow x &=e \\ &=\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\displaystyle\frac{1}{n})^n \\ &=2.71828\cdots,\;n\in R \end{aligned}\]

자연로그의 밑의 미분법

• 자연로그함수의 미분법

  \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{d}{dx}\ln x &=\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{t=1}^{x}\displaystyle\frac{1}{t}dt \\ &=\displaystyle\frac{1}{x} \end{aligned}\]

• 자연로그의 밑에 대한 지수함수의 미분법

  \[\begin{aligned} f(x) &=e^x\\\\ \displaystyle\frac{d}{dx}f(x) &=\displaystyle\frac{d}{dx}e^x \\ &=e^x \end{aligned}\]
  • 증명

    • 함수 정의

      \[f(x)=a^x\]

    • 미분 정의

      \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{d}{dx}f(x) &=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{a^{x+\Delta x} - a^{x}}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{a^{x}(a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \\ &=a^{x} \end{aligned}\]

    • 극한의 성질에 근거하여 좌변에서 $a^x$ 소거

      \[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \rightarrow 0}a^x \times \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} &=a^x \\ \displaystyle\frac{1}{a^x}\times a^x \times \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} &= a^x \times \displaystyle\frac{1}{a^x}\\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x} &= 1 \end{aligned}\]

    • 극한의 성질에 근거하여 좌변에서 $\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\displaystyle\frac{1}{\Delta x}$ 소거

      \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(a^{\Delta x}-1)}{\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x} &= 1 \\ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x \times \frac{\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(a^{\Delta x}-1)}{\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x} &= 1 \times \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x \\ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(a^{\Delta x}-1) &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x \end{aligned}\]

    • 극한의 성질에 근거하여 좌변에서 $1$ 소거

      \[\begin{aligned} \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}a^{\Delta x}-\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x \\ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}a^{\Delta x}-\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 + \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 &= \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 + \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x \\ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}a^{\Delta x} &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(1+\Delta x) \end{aligned}\]

    • 극한의 성질에 근거하여 양변에 $\displaystyle\frac{1}{\Delta x}$ 제곱

      \[\begin{aligned} \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}a^{\Delta x} &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(1+\Delta x) \\ \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(a^{\Delta x})^{\frac{1}{\Delta x}} &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}} \\ a &=\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(1+\Delta x)^{\displaystyle\frac{1}{\Delta x}} \end{aligned}\]

    • $\Delta x$ 를 $\displaystyle\frac{1}{n}$ 로 치환

      \[\begin{aligned} a &=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\displaystyle\frac{1}{n})^n \\ &=e \end{aligned}\]

삼각함수의 미분법

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삼각함수의 이해

• 각도에 대한 대변, 빗변, 이웃변 정의

  

  • 대변(Homologous Side) : 각 $A$ 와 마주보는 변 $a$
  • 이웃변(Adjoint Side) : 각 $A$ 와 이웃하는 변 $b$
  • 빗변(Hypotenuse) : 직각 $C$ 와 마주보는 변 $c$

• 삼각함수(Trigonometric Function) : 각도에 대한 삼각비의 함수

  • 삼각비(Trigonometric Ratio) : 직각삼각형 두 변의 비율

  • 사인 함수(Sine Function; $\sin$) : 각 $\theta$ 에 대하여 그 빗변 대비 대변의 비율

    \[\sin \theta = \frac{a}{c}\]

  • 코사인 함수(Cosine Function; $\cos$) : 각 $\theta$ 에 대하여 그 빗변 대비 이웃변의 비율

    \[\cos \theta = \frac{b}{c}\]

  • 탄젠트 함수(Tangent Function; $\tan$) : 각 $\theta$ 에 대하여 그 이웃변 대비 대변의 비율

    \[\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{a}{b} \\ &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{aligned}\]

삼각함수의 미분법

• 사인 함수의 미분

  \[\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\]

• 코사인 함수의 미분

  \[\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\]

• 탄젠트 함수의 미분

  \[\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}\]