Fourier Analysis (2) Fourier Transform

Fourier Transform

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• 푸리에 변환(Fourier Transform): 푸리에 급수를 활용하여 시간 영역 $t \in T$ 에서 정의된 비주기 신호 함수 $X(t)$ 를 주파수 영역 $\omega \in \Omega$ 의 스펙트럼 밀도 함수 $\mathcal{X}(\omega)$ 로 재정의하는 기법

• 정변환(transform): 시간 영역의 비주기 신호를 주파수 영역의 스펙트럼 밀도로 변환

\[\begin{aligned} \mathcal{F}(X) &= \mathcal{X}(\omega)\\ &= \left<X(u),\phi_{\omega}(u)\right>\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}{X(u)\phi_{\omega}^{*}(u)\mathrm{d}u} \end{aligned}\]

• 역변환(inverse transform): 주파수 영역의 스펙트럼 밀도를 시간 영역의 비주기 신호로 복원

\[\begin{aligned} \mathcal{F}^{-1}(X) &= X(u)\\ &= \frac{1}{2\pi}\left<\mathcal{X}(\omega),\phi_{\omega}^{*}(u)\right>\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\mathcal{X}(\omega)\phi_{\omega}(u)\mathrm{d}\omega} \end{aligned}\]

Discrete Frequency Lines

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• 푸리에 해석과 비주기 신호 $X(t)$ 를 매개하기 위한 함수 정의:

  \[\begin{aligned} S_{T}(t) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}}{X(t-nT)} \end{aligned}\]

• $S_{T}(t)$ 는 주기 $T$ 인 주기 함수임:

  \[\begin{aligned} S_{T}(t+T) &= \sum_{n \in \mathbb{Z}}{X((t+T)-nT)}\\ &= \sum_{n \in \mathbb{Z}}{X(t-(n-1)T)}\\ &= \sum_{m \in \mathbb{Z}}{X(t-mT)}\\ &= S_{T}(t) \end{aligned}\]

• $S_{T}(t)$ 의 푸리에 계수:

  \[\begin{aligned} a_{k} &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{S_{T}(t)\phi_{\omega_{k}}^{*}(t)\mathrm{d}t}\\ &= \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\sum_{n \in \mathbb{Z}}{X(t-nT)}\phi_{\omega_{k}}^{*}(t)\mathrm{d}t}\\ &= \frac{1}{T}\sum_{n \in \mathbb{Z}}{\int_{0}^{T}{X(t-nT)\phi_{\omega_{k}}^{*}(t)\mathrm{d}t}} \end{aligned}\]

• $u=t-nT$:

  \[\begin{aligned} \int_{0}^{T}{X(t-nT)\phi_{\omega_{k}}^{*}(t)\mathrm{d}t} &= \int_{-nT}^{(1-n)T}{X(u)\phi_{\omega_{k}}^{*}(u+nT)\mathrm{d}u}\\ &= \int_{-nT}^{(1-n)T}{X(u)\phi_{\omega_{k}}^{*}(u)\mathrm{d}u}\\ \\ \because \phi_{\omega_{k}}^{*}(u+nT) &= \exp{\left[-i\omega_{k}(u+nT)\right]}\\ &= \exp{\left[-i\omega_{k}u\right]} \cdot \underbrace{\exp{\left[-i\omega_{k}nT\right]}}_{=1} \quad (\because k\omega_{0}T=2 \pi k)\\ &= \phi_{\omega_{k}}^{*}(u) \end{aligned}\]

• 범위 조정:

  \[\begin{aligned} \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}{[-nT,(1-n)T)} &= \mathbb{R} \end{aligned}\]

• 따라서:

  \[\begin{aligned} a_{k} &= \frac{1}{T}\sum_{n \in \mathbb{Z}}{\int_{-nT}^{(1-n)T}{X(u)\phi_{\omega_{k}}^{*}(u)\mathrm{d}u}}\\ &= \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}{X(u)\phi_{\omega_{k}}^{*}(u)\mathrm{d}u}\\ &= \frac{1}{T}\left<X(u),\phi_{\omega_{k}}(u)\right> \end{aligned}\]

Transform

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• 주기가 $T$ 인 신호에서 $k$ 번째 주파수의 평균 기여도를 구간 폭 $\Delta\omega=2\pi/T$ 에 해당하는 총 기여도로 재정의하자:

  \[\begin{aligned} \mathcal{X}_{T}(\omega_{k}) := T \cdot a_{k} \end{aligned}\]

• 비주기 신호는 주기 $T \to \infty$ 인 주기 신호로 볼 수 있으며, 이는 이산 주파수 $\cdots,-2 \cdot \omega_{0}, -1 \cdot \omega_{0}, 0 \cdot \omega_{0}, 1 \cdot \omega_{0}, 2 \cdot \omega_{0}, \cdots$ 를 연속 주파수 $\omega \in \mathbb{R}$ 로 일반화한 형태로 볼 수 있음:

  \[\begin{gathered} T \to \infty \Leftrightarrow \Delta \omega \to 0 \end{gathered}\]

• 이산 주파수 기저(Discrete Frequency Lines) \(\phi_{\omega_{k}}\) 의 총 기여도 \(\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})\) 는 \(\Delta \omega \to 0\) 에서 연속 주파수 기저(Continuous Frequency) \(\phi_{\omega}\) 의 밀도(Density) \(\mathcal{X}(\omega)\) 로 수렴함:

  \[\begin{aligned} \mathcal{X}(\omega) :=\lim_{\Delta \omega \to 0}{\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})} = \left<X(u),\phi_{\omega}(u)\right> \end{aligned}\]

Inverse Transform

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• 푸리에 급수:

  \[\begin{aligned} S_{T}(t) &= \sum_{k}{a_{k}\phi_{\omega_{k}}(t)}\\ &= \frac{1}{T}\sum_{k}{\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})\phi_{\omega_{k}}(t)}\\ &= \frac{1}{2\pi}\sum_{k}{\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})\phi_{\omega_{k}}(t)\Delta \omega} \quad (\because \Delta \omega = \omega_{0} = \frac{2\pi}{T}) \end{aligned}\]

• 주기 함수 $S_{T}(t)$ 는 비주기 신호 $X(t)$ 를 주기 $T$ 만큼 평행이동한 복제 신호 $X(t-nT)$ 의 합이고, 주기 $T \to \infty$ 라면 관찰 가능한 범위에서($t$ 가 유한한 범위일 때) $X(t-nT)$ 의 기여가 사라지므로 $X(t)$ 에 근사하게 됨:

  \[\begin{aligned} \lim_{T\to\infty}{S_{T}(t)} &= \cdots + X(t+ \infty) + X(t) + X(t-\infty) + \cdots\\ &\approx X(t) \quad \mathrm{for} \quad X(t) \in L^{1}(\mathbb{R}) \end{aligned}\]

  • $L^{1}(\mathbb{R})$: 르베그 적분 가능한 함수 공간

    함수 $f \in L^{1}(\mathbb{R})$ 는 실수 전체에서 절대값 적분이 유한해야 하므로 정의역의 절대값이 커질수록 함수 값이 평균적으로 작아저야 함. 즉, 정의역의 절대값이 무한히 커짐에도 함수 값이 일정한 크기를 유지하는 함수는 이 공간에 속할 수 없음.

    \[\begin{aligned} L^{1}(\mathbb{R}) := \left\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \mid \int_{-\infty}^{\infty}{\vert f(t) \vert^{1} \mathrm{d}t} < \infty \right\} \end{aligned}\]

• 따라서:

  \[\begin{aligned} X(t) &\approx \lim_{\Delta \omega \to 0}{S_{T}(t)}\\ &= \lim_{\Delta \omega \to 0}{\frac{1}{2\pi}\sum_{k}{\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})\phi_{\omega_{k}}(t)\Delta \omega}}\\ &= \frac{1}{2\pi}\lim_{\Delta \omega \to 0}{\sum_{k}{\mathcal{X}_{T}(\omega_{k})\phi_{\omega_{k}}(t)\Delta \omega}}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\mathcal{X}(\omega)\phi_{\omega}(t)\mathrm{d}\omega}\\ &= \frac{1}{2\pi}\left<\mathcal{X}(\omega),\phi_{\omega}(t)\right> \end{aligned}\]