Goodness of Fit Test

Goodness-of-Fit Test

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• 적합성 검정(Goodness-of-Fit Test) : 범주형 자료에 대하여 관찰된 비율이 기대되는 비율과 통계적으로 유의한 차이가 있는지 검정하는 방법

  마케팅 조사 기관 Scott 가 수행한 시장 점유율에 대한 조사에서, 몇 년동안 시장점유율은 A사 $30\%$, B사 $50\%$, C사 $20\%$ 수준을 보이며 안정적이었다. 최근에 C사는 기능이 향상된 제품을 출시하였다. 이에 신제품의 출시가 시장점유율의 변화에 영향을 미치고 있는지 파악하고자 한다. Scott 가 $200$ 명의 고객을 소비자 패널로 활용하여 조사를 수행한 결과, 아래의 표와 같은 구매 선호도를 얻었다. 신제품 출시에 따라 시장점유율이 변화했다고 볼 수 있는가?

• 관심 모수에 대한 점 추정량 도출
  • 관심 모수 : \(\pi_{A},\quad \pi_{B},\quad \pi_{C}\)
  • 점 추정량 : \(p_{A},\quad p_{B},\quad p_{C}\)
• 귀무가설과 대립가설 설정
  • $H_{0}:\quad \pi_{A}=0.3 \; \text{and} \; \pi_{B}=0.5 \; \text{and} \; \pi_{C}=0.2$
  • $H_{1}:\quad \pi_{A} \ne 0.3 \; \text{or} \; \pi_{B} \ne 0.5 \; \text{or} \; \pi_{C} \ne 0.2$

• 검정통계량

  \[\begin{aligned} X &= \sum_{i=1}^{k}{Z_{i}^2} \quad \text{for} \quad Z_{i} \sim N(0,1)\\ &= \sum_{i=1}^{k}{\left(\frac{\Omega_{i} - e_{i}}{\sqrt{e_{i}}}\right)^2} \sim \chi^2{(\nu)} \end{aligned}\]

  • $Z_{i}$ : 각 셀에 대하여 관측 빈도와 기대 빈도의 표준화된 차이

    \[Z_{i}=\frac{\Omega_{i} - e_{i}}{\sqrt{e_{i}}} \sim N(0,1)\]

  • $\Omega_{i}$ : $i$ 번째 카테고리에 해당하는 관측치의 관측 빈도

    회사	A	B	C	계
    관측 빈도	48	98	54	200

  • $e_{i}$ : $\Omega_{i}$ 의 기대값으로서 귀무가설이 참일 때 기대되는 빈도

    회사	A	B	C
    기대 빈도	60	100	40

    \[\begin{aligned} e_{i} &=E\left[\Omega_{i} \right]\\ &= n \cdot p_{i} \end{aligned}\]

  • $\sqrt{e_{i}}$ : $\Omega_{i}$ 에 대한 표준편차의 근사값

    \[\begin{aligned} Var\left[\Omega_{i}\right] &= n \cdot p_{i} \cdot (1-p_{i})\\ &= e_{i} \cdot (1-p_{i})\\ &\approx e_{i} \cdot 1 \end{aligned}\]

  • $\chi^2{(\nu)}$ : 자유도가 $\nu$ 인 카이제곱 분포

    • $\nu=k-1$
    • $k$ : 카테고리 갯수