Integration

적분의 이해

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적분(Integration)

• 정의 : 매우 작은 양을 쌓아가는 방법

  

• 미분과의 관계

  • 미분

    \[f(x) = F(x) \times \displaystyle\frac{1}{\Delta x}\]
    • $F(x)$ 의 $x$ 에 대한 순간변화율 $f(x)$ 를 구하는 방법
    • $F(x)$ 를 $\Delta x$ 로 잘게 쪼개는 방법

  • 적분

    \[F(x) + C = \displaystyle\sum{[f(x) \times \Delta x]}\]
    • $x$ 축과 피적분함수 $f(x)$ 로 둘러싸인 면적의 너비 $F(x)+C$ 를 구하는 방법
    • 미분소($f(x) \times \Delta x$)를 쌓아가는 방법

부정적분(Indefinite Integral)

• 정의 : 어떤 함수 $f(x)$ 를 도함수로 하는 모든 함수 $F(x)+C$ 를 구하는 연산

  \[F(x) + C = \int{f(x)dx}\]
  • $f(x)$ : $F(x)+C$ 의 피적분함수, 도함수 혹은 미분계수
  • $F(x)+C$ : $f(X)$ 의 부정적분함수
  • $C$ : 적분상수

• 성질

  • $\displaystyle\int{\alpha \cdot f(x)dx} = \alpha \cdot \displaystyle\int{f(x)dx}$
  • $\displaystyle\int{[f(x) \pm g(x)] dx} = \displaystyle\int{f(x)dx} \pm \displaystyle\int{g(x)dx}$
  • $\displaystyle\int{x^n dx} = \displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
  • $\displaystyle\int{\frac{1}{x}dx} = \ln{\vert x \vert}+C$
  • $\displaystyle\int{e^{x}dx} = e^{x}+C$
  • $\displaystyle\int{\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx} = \ln{\vert f(x) \vert}+C$
  • $\displaystyle\int{\sin{x}dx} = -\cos{x}+C$
  • $\displaystyle\int{\cos{x}dx} = \sin{x}+C$

정적분(Definite Integral)

• 정의 : $x \in [a,b]$ 과 피적분함수 $f(x)$ 로 둘러싸인 면적의 너비를 구하는 연산

  \[\begin{aligned} S &= \int_{a}^{b}{f(x)dx} \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned}\]
  • $a$ : 적분의 아래 한계
  • $b$ : 적분의 위의 한계

• 성질

  • $\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int_{a}^{x}{f(t)dt} = f(x)$
  • $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha f(x)dx} = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
  • $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x) \pm g(x)dx} = \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx} \pm \displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}$
  • $\displaystyle\int_{a}^{a}{\alpha f(x)dx} = 0$
  • $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha f(x)dx} = -\displaystyle\int_{b}^{a}{\alpha f(x)dx}$
  • $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha f(x)dx} + \displaystyle\int_{b}^{c}{\alpha f(x)dx} = \displaystyle\int_{a}^{c}{\alpha f(x)dx}\,(a<b<c)$

중적분(Multiple Integral)

• 정의 : 영역 $B$ 에서 적분 가능한 다변수함수 $y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 에 대하여 변수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 에 대한 정적분

  \[\begin{aligned} \int_{x_n} \cdots \int_{x_2} \int_{x_1} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) dx_1 dx_2 \cdots dx_n \end{aligned}\]

• 이중적분(Double Integral)의 예시

  • 영역 $B$ 를 다음과 같이 정의하자

    \[\begin{aligned} B &= [a,b]\times[c,d]\\ &= \{(x,y)|a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\} \end{aligned}\]

  • 2변수함수 $z=f(x,y)$ 는 영역 $B$ 에서 적분 가능한 함수임

    \[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow k-}f(x,y)=\lim_{x \rightarrow k+}f(x,y)=f(k,y)\;(a \leq k \leq b)\\ \lim_{y \rightarrow k-}f(x,y)=\lim_{y \rightarrow k+}f(x,y)=f(x,k)\;(c \leq k \leq d)\\ \end{aligned}\]

  • 피적분함수 $z=f(x,y)$ 를 영역 $B$ 에서 $y$ 에 대하여 적분하면 다음과 같음

    \[\begin{aligned} g(x) &= \int_{c}^{d}{z}dy\\ &= \int_{c}^{d}{f(x,y)}dy\\ &= F(x,d)-F(x,c) \end{aligned}\]

  • $x$ 에 관한 함수 $g(x)$ 를 영역 $B$ 에서 $x$ 에 대하여 적분하면 다음과 같음

    \[\begin{aligned} \int_{a}^{b}{g(x)}dx &= G(b) - G(a) \end{aligned}\]

  • 이상을 요약하면 다음과 같음

    \[\begin{aligned} \int_{a}^{b}(\int_{c}^{d}{z}dy)dx &= \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}{f(x,y)}dy\,dx \end{aligned}\]

특수한 경우의 적분법

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부분적분 : 곱셈의 적분법

• $x$ 에 대하여 미분 가능한 함수 $u(x),v(x)$ 의 곱을 $x$ 에 대하여 미분하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \frac{d}{dx}uv &= u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \end{aligned}\]

• 양변에 $dx$ 를 곱하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} d(uv) &= u \cdot dv + v \cdot du \end{aligned}\]

• 양변의 일부 항목을 이항하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} u \cdot dv &= d(uv) - v \cdot du \end{aligned}\]

• 양변을 적분하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \int{u \cdot dv} &= uv - \int{v \cdot du} \end{aligned}\]

유리함수의 적분법

• 진분수함수 $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ 를 다음과 같이 가정하자

  \[\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} &= \frac{x^3 - x^2 - 2}{x(x-1)} \end{aligned}\]

• $f(x)$ 를 $g(x)$ 로 나누면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} f(x) \div g(x) &= \frac{x^3 - x^2 - 2}{x(x-1)} \\ &= \frac{x^2(x - 1) - 2}{x(x-1)} \\ &= x - \frac{2}{x(x-1)} \end{aligned}\]

• 나머지를 부분분수분해하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \frac{2}{x(x-1)} &= 2 \times \frac{1}{(x-1)-x}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1})\\ &= -\frac{2}{x} + \frac{2}{x-1} \end{aligned}\]

• $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ 를 재정의하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \frac{f(x)}{g(x)} &= x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} \end{aligned}\]

• 양변을 적분하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \int\frac{f(x)}{g(x)}dx &= \int{[x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x-1}]dx}\\ &= \int{x}dx + \int{\frac{2}{x}}dx - \int{\frac{2}{x-1}}dx \end{aligned}\]

이상적분 : 극한치의 적어도 한 개가 무한일 경우의 적분법

• 피적분함수 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x^2}$ 에 대한 정적분을 다음과 같이 가정하자

  \[\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^2}}dx\]

• 적분의 위의 한계 $\infty$ 를 상수 $k$ 로 치환하면 다음과 같음

  \[\lim_{k\rightarrow\infty}{\int_{1}^{k}{\frac{1}{x^2}}dx}\]

• $f(x)$ 를 $[1,k]$ 에서 정적분하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \int_{1}^{k}{\frac{1}{x^2}}dx &= [-x^{-1}]^{k}_{1}\\ &= -\frac{1}{k}+1 \end{aligned}\]

• $k\rightarrow\infty$ 일 때 위 식의 값은 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \lim_{k\rightarrow\infty}{-\frac{1}{k}+1} &= 1 \end{aligned}\]