Levene’s Test

Levene’s Test

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• 레벤의 검정(Levene’s Test): 두 개 이상의 독립표본이 등분산성(Homogeneity of Variances)을 만족하는지 검정하는 방법

• 모수(Parameter) 정의:

  \[\begin{aligned} \sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\cdots,\sigma_{k}^{2} \end{aligned}\]

• 점 추정량(Point Estimator) 도출:

  \[\begin{aligned} s_{1}^{2},s_{2}^{2},\cdots,s_{k}^{2} \end{aligned}\]
• 가설(Hypothesis) 설정:
  • $H_{0}:\quad \forall i \quad \sigma_{i}^{2} / \sigma_{j \ne i}^{2} = 1$
  • $H_{1}:\quad \exists i \quad \sigma_{i}^{2} / \sigma_{j \ne i}^{2} \ne 1$

• 검정통계량(Test Statistic):

  \[\begin{aligned} F \sim \mathcal{F}(k-1, N-k) \end{aligned}\]

• F 분포(F-Distribution) : 서로 독립인 확률변수 $V_{1}\sim\chi^2(\nu_1),V_{2}\sim\chi^2(\nu_2)$ 간 비율로 구성되는 확률변수의 분포

  \[F=\frac{V_1/\nu_1}{V_2/\nu_2} \sim \mathcal{F}(\nu_1,\nu_2)\]

Test Statistic

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\[\begin{aligned} F = \frac{\text{SSB} / (k-1)}{\text{SSW} / (N-k)} \end{aligned}\]

• SSB(Sum of Square Between):

  \[\text{SSB}=\sum_{i=1}^{k}{N_{i}\left(\overline{Z}^{(i)}-\overline{Z}\right)^2} \sim \chi^2(k-1)\]
  • $\overline{Z}^{(i)}$ : $i$ 번째 집단에 대하여 그 절대편차 \(Z^{(i)}\) 의 평균
  • $\overline{Z}$ : 모든 관측치 $X_{\forall}$ 에 대하여 그 절대편차 \(Z\) 의 평균
  • $k$ : 표본 내 집단 갯수

• SSW(Sum of Square Within):

  \[\text{SSW}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{N_{i}}{\left(Z^{(i)}_{j}-\overline{Z}^{(i)}\right)^2} \sim \chi^2(N-k)\]
  • \(Z^{(i)}_{j}=\vert X^{(i)}_{j}-\overline{X}^{(i)} \vert\) : \(i\) 번째 집단의 \(j\) 번째 관측치 \(X^{(i)}_{j}\) 의 절대편차
  • $\overline{Z}^{(i)}$ : $i$ 번째 집단에 대하여 그 절대편차 \(Z^{(i)}\) 의 평균
  • $N$ : 표본 내 관측치 갯수