Limit and Continuity

Limit & Continuity

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• 극한(Limit): 함수 $f:X \to Y$ 에 대하여 $x \ne a$ 이면서 $x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $y$ 가 일정한 값 $z$ 에 가까워지는 경우, $y$ 가 $x \to a$ 일 때 $z$ 에 수렴한다(Converge)고 하고, $L$ 을 $x \to a$ 에서 $f$ 의 극한(Limit)이라고 함

  \[\begin{aligned} \lim_{x \to a}{f(x)}=z \Rightarrow \underbrace{\lim_{x \to a-0}{f(x)}}_{\text{left-hand limit}} =\underbrace{\lim_{x \to a+0}{f(x)}}_{\text{right-hand limit}} =z \end{aligned}\]
  • $\lim_{x \to a}{\alpha f(x)}=\alpha \lim_{x \to a}{f(x)}$
  • $\lim_{x \to a}{[f(x)+g(x)]}=\lim_{x \to a}{f(x)}+\lim_{x \to a}{g(x)}$
  • $\lim_{x \to a}{[f(x)g(x)]}=\lim_{x \to a}{f(x)}\lim_{x \to a}{g(x)}$
  • $\lim_{x \to a}{[f(x)/g(x)]}=\lim_{x \to a}{f(x)}/\lim_{x \to a}{g(x)} \quad (\text{s.t.}\ \lim_{x \to a}{g(x)} \ne 0)$

• 연속(Continuity): 함수 $f:X \to Y$ 에 대하여 $f$ 가 $x=a$ 에서 함수값 $y=f(x)$ 과 극한값 $z=\lim_{x \to a}{f(x)}$ 이 모두 존재하고 $y=z$ 일 때 $f$ 는 $x=a$ 에서 연속임

\[\begin{aligned} f(a)=\lim_{x \to a}{f(x)} \end{aligned}\]

• 연속 함수(Continuous Function): 함수 $f:X \to Y$ 가 정의역 $a \in \mathcal{X}$ 전체에서 연속이면 $f$ 는 연속 함수임

\[\begin{aligned} f(a)=\lim_{x \to a}{f(x)}, \quad \forall a \in \mathcal{X} \end{aligned}\]

Natural Logarithm

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• 자연로그(Natural Logarithm): 함수 \(g(x)=1/x\) 의 면적(정적분)에 관한 함수

  \[\begin{aligned} f(x) =\ln{x} =\int_{t=1}^{t=x}{\frac{1}{t}\text{d}t} \end{aligned}\]

• 상수 $e$: 자연로그 값이 $1$ 일 때의 $x$ 값

  \[\begin{aligned} e = \lim_{n \to \infty}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}} = 2.71828\cdots, \quad n \in \mathbb{R} \end{aligned}\]

• example $\lim_{x \to 0}{(1+3x)^{1/x}}$

  \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0}{(1+3x)^{n}} &= \lim_{x \to 0}{\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}}\\ &= \lim_{x \to 0}{\left(1+\frac{3}{n/3}\right)^{n/3 \times 3}}\\ &= e^{3} \end{aligned}\]

• 연속 복리(Continuous Compounding): 가장 짧은 시간 간격으로 취하는 복리

  • 원금 $a$ 를 연이율 $r$ 로 $n$ 년간 복리예금 시 원리금

    \[\begin{aligned} S &= a(1+r)^{n} \end{aligned}\]

  • $n$ 년간 이자를 $k$ 번 계산하는 경우 원리금

    \[\begin{aligned} S &= a\left[\left(1+r/k\right)^{k}\right]^{n} \end{aligned}\]

  • $k \to \infty$ 일 때 원리금

    \[\begin{aligned} \lim_{k \to \infty}{S} &= \lim_{k \to \infty}{a\left[\left(1+r/k\right)^{k}\right]^{n}}\\ &= \lim_{k \to \infty}{a\left[\left(1+\frac{1}{k/r}\right)^{k/r \times r}\right]^{n}}\\ &= a \times e^{r \times n} \end{aligned}\]