Limit and Continuity

극한

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• 극한(Limiting)

  \[\begin{aligned} y&=f(x) \\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}y&=L \end{aligned}\]
  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여
  • $x \ne a$ 이면서 $x$ 가 $a$ 에 한없이 가까워질 때 $y$ 가 일정한 값 $L$ 에 가까워지는 경우
  • $y$ 는 $x \rightarrow a$ 일 때 $L$ 에 수렴한다(Converge) 라고 정의함
  • 또한 $L$ 를 $x \rightarrow a$ 인 경우 $y$ 의 극한(Limiting) 이라고 정의함

• 좌극한과 우극한

  \[\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \rightarrow a-0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a+0}f(x)=L\]
  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여
  • $f$ 가 값 $a$ 에서 극한이 존재하면
  • 그 좌극한 $x \rightarrow a-0$ 과 우극한 $x \rightarrow a+0$ 이 존재하고, 그 값이 서로 같음

• 성질

  • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x), \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x)$ 가 존재하는 경우 다음이 성립함

    • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}\alpha f(x)=\alpha\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)$
    • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}(f(x)+g(x))=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)+\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x)$
    • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}(f(x) \times g(x))=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x) \times \displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)$
    • $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x)}\;(s.t.\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x) \ne 0)$

연속

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• 연속성(Continuity)

  \[f(a)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)\]
  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여
  • $f$ 가 $x=a$ 에서 함수값과 극한값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때
  • $y=f(x)$ 는 $x=a$ 에서 연속이라고 정의함

• 연속함수(Continuous Function)

  \[f(a)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x), \; a \in X=R\]
  • 설명변수 $x \in X$ 에 대한 반응변수 $y \in Y$ 의 함수 $f:\,X\rightarrow Y$ 에 대하여
  • 정의역 $X$ 를 모든 실수 $R$ 라고 정의하자
  • $f$ 가 정의역에 대하여 연속이면 $f$ 를 연속함수라고 정의함

자연로그의 밑

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• 자연로그의 밑 $e$ 의 정의

  \[\begin{aligned} e&=\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n\\ &=2.71818\cdots,\;n \in R \end{aligned}\]

• 자연로그의 정의

  \[\ln x=\log_e x=a \Leftrightarrow x=e^a\]
• 예시

  • $f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}$

    \[\begin{aligned} n=\frac{1}{x} \Rightarrow f(x) &=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{3}{n})^n\\ &=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{3}{\frac{1}{3}n})^{3 \times \frac{1}{3}n}\\ &=e^3 \end{aligned}\]
• 연속복리와 $e$
  • 복리의 이해

    • 원금 $a$ 를 연이율 $r$ 로 $n$ 년간 복리예금 시 원리금 $S$ 를 다음과 같이 정의함

      \[S=a(1+r)^n\]
  • 연속복리 : 가장 짧은 시간 간격으로 취하는 복리
    • 원금 $a$ 를 연이율 $r$ 로 $n$ 년간 복리예금한다고 하자

    • $n$ 년간 $m$ 번 이자를 계산하는 경우 원리금 $S$ 를 다음과 같이 정의함

      \[S=a[(1+\frac{r}{m})^m]^n\]

    • $m$ 이 무한대로 발산한다고 했을 때 원리금 $S$ 를 다음과 같이 정의함

      \[\begin{aligned} \lim_{m \rightarrow \infty} S &=\lim_{m \rightarrow \infty} a[(1+\frac{r}{m})^m]^n \\ &=\lim_{m \rightarrow \infty} a[(1+\frac{1}{\frac{1}{r}m})^{r \times \frac{1}{r}m}]^{n} \\ &=a\times e^{r \times n} \end{aligned}\]