Linear Equation

Linear Equation

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선형방정식

• 정의 : 최고차 항의 차수가 $1$ 을 넘지 않는 다항방정식으로서 $1$ 차 방정식

  \[\begin{aligned} & a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b \end{aligned}\]

• 선형방정식을 벡터로 표현하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \begin{pmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = b \end{aligned}\]

• 이때 벡터 $\overrightarrow{a}$ 는 방정식의 계수들을 나열하고 있음

  \[\begin{aligned} \overrightarrow{a}^T \overrightarrow{x} = b \end{aligned}\]

선형연립반정식

• 정의 : 둘 이상의 선형방정식의 집합

  \[\begin{aligned} \begin{matrix} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & \cdots & + & a_{1n}x_n & = & b_1 \\ a_{21}x_1 & + & a_{22}x_2 & + & \cdots & + & a_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & + & \vdots & + & \ddots & + & \vdots & = & \vdots \\ a_{m1}x_1 & + & a_{m2}x_2 & + & \cdots & + & a_{mn}x_n & = & b_m \end{matrix} \end{aligned}\]

• 선형연립방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같음

  \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} \end{aligned}\]

첨가 행렬

• 정의 : 선형연립방정식 계수들의 집합으로서 벡터 $\overrightarrow{x}$ 를 선형변환하는 행렬

  \[\begin{aligned} A \overrightarrow{x} &= \overrightarrow{b} \end{aligned}\]

• 첨가 행렬 $A$ 의 열벡터 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \cdots, \overrightarrow{a_n}$ 을 구분하여 표현할 수 있음

  \[\begin{aligned} \overrightarrow{a_1} x_1 + \overrightarrow{a_2} x_2 + \cdots + \overrightarrow{a_n} x_n &= \overrightarrow{b} \end{aligned}\]

선형방정식의 갯수와 미지수의 갯수가 같은 경우

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첨가 행렬의 역행렬과 방정식의 해

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow A \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \end{aligned}\]

• 크기가 $n \times n$ 인 첨가 행렬 $A$ 에 대하여 그 역행렬 $A^{-1}$ 이 존재할 조건

  • $Rank(A_n)=n$
  • $det(A) \ne 0$
  • $A$ 의 열벡터 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \cdots, \overrightarrow{a_n}$ 를 $span$ 하여 $n$ 차원 공간을 구성할 수 없음
  • $A$ 의 열벡터 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \cdots, \overrightarrow{a_n}$ 는 모두 선형 독립임

• 첨가 행렬 $A$ 에 대하여 그 역행렬이 존재하면 단 하나의 해가 존재함

  

• 첨가 행렬 $A$ 에 대하여 그 역행렬이 존재하지 않으면 불능이거나 부정임

  • 불능(Underdetermined) : 해를 구할 수 없음

    

  • 부정(Inconsistent, Impossible) : 해가 무수히 많아 하나로 정할 수 없음

    

해가 하나 존재하는 경우의 기하학적 이해

\[\begin{pmatrix} 7&2\\ -7&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\ 12 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_1}x_1 + \overrightarrow{a_2}x_2 = \overrightarrow{b}\] \[\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 7\\ -7 \end{pmatrix}, \overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} 2\\ 5 \end{pmatrix}, \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -5\\ 12 \end{pmatrix}\]

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 $span$ 하여 $2$ 차원 평면을 구성할 수 있음
  • $\overrightarrow{a_1}$ 와 $\overrightarrow{a_2}$ 는 선형 독립임

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 가 $span$ 하여 구성할 수 있는 $2$ 차원 평면에 $\overrightarrow{b}$ 가 포함됨

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 선형결합하여 $\overrightarrow{b}$ 를 만들 수 있음
  • $\overrightarrow{b}$ 는 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 에 대하여 선형 종속임

해를 구할 수 없는 경우의 이해

\[\begin{pmatrix} 5&5\\ 5&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ 20 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_1}x_1 + \overrightarrow{a_2}x_2 = \overrightarrow{b}\] \[\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}, \overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix} 5\\ 5 \end{pmatrix}, \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 10\\ 20 \end{pmatrix}\]

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 $span$ 하여 $2$ 차원 평면을 구성할 수 없음
  • $\overrightarrow{a_1}$ 와 $\overrightarrow{a_2}$ 는 선형 종속임

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 가 $span$ 하여 구성할 수 있는 $1$ 차원 직선에 $\overrightarrow{b}$ 가 포함되지 않음

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 선형결합하여 $\overrightarrow{b}$ 를 만들 수 없음
  • $\overrightarrow{b}$ 는 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 에 대하여 선형 독립임

해가 무수히 많은 경우의 이해

\[\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\20\end{pmatrix} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_1}x_1 + \overrightarrow{a_2}x_2 = \overrightarrow{b}\] \[\overrightarrow{a_1} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \overrightarrow{a_2} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}10\\20\end{pmatrix}\]

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 $span$ 하여 $2$ 차원 평면을 구성할 수 없음
  • $\overrightarrow{a_1}$ 와 $\overrightarrow{a_2}$ 는 선형 종속임

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 가 $span$ 하여 구성할 수 있는 $1$ 차원 직선에 $\overrightarrow{b}$ 가 포함됨

• $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 를 선형결합하여 $\overrightarrow{b}$ 를 만들 수 있음
  • $\overrightarrow{b}$ 는 $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}$ 에 대하여 선형 종속임

선형방정식의 갯수와 미지수의 갯수가 다른 경우

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선형방정식의 갯수보다 미지수의 갯수가 더 많은 경우

\[\begin{pmatrix}1&2&3\\1&5&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} \Leftrightarrow A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}\]

• 하나의 방정식을 만족하는 벡터 $\overrightarrow{x}$ 는 $3$ 차원 공간의 $2$ 차원 평면을 구성함
• 두 방정식을 동시에 만족하는 벡터 $\overrightarrow{x}$ 는 두 평면이 교차하는 $1$ 차원 직선의 모든 점임

미지수의 갯수보다 선형방정식의 갯수가 더 많은 경우

\[\begin{pmatrix}0&1\\-2&1\\2&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\-4\\8\end{pmatrix} \Leftrightarrow A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}\]

• 하나의 방정식을 만족하는 벡터 $\overrightarrow{x}$ 는 $2$ 차원 평면의 $1$ 차원 직선을 구성함
• 세 방정식을 동시에 만족하는 벡터 $\overrightarrow{x}$ 는 존재하지 않음