Linear Transformation

Linear Transformation

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선형변환

• 정의 : 하나의 벡터를 입력하여 다른 벡터를 출력하는 함수

  

• 기하학적 의미 : 평면을 휘어트리지 않는 선에서 벡터 공간을 늘리고 뒤틀어서 입력 벡터가 나타내는 직선을 출력 벡터가 나타내는 직선으로 변화하는 과정

  

• 성질
  • $L(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = L(\overrightarrow{v}) + L(\overrightarrow{w})$
  • $L(\alpha \times \overrightarrow{v}) = \alpha L(\overrightarrow{v})$

• 선형변환을 통한 행렬과 벡터 곱의 이해

  행렬 \(A = \begin{pmatrix} 1&3\\-2&0 \end{pmatrix}\) 과 벡터 \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}\) 의 곱은 \(\overrightarrow{v}\) 에 대하여 단위벡터를 기저로 사용하는 직교좌표계에서 \(A\) 의 열벡터 \(\overrightarrow{a_1}=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{a_2}=\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix}\) 를 기저로 사용하는 좌표계로의 선형변환으로 이해할 수 있음

  \[\begin{aligned} L(\overrightarrow{v}) &= L(\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}) \\ &= L(-1 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j}) \\ &= -1L(\overrightarrow{i}) + 2L(\overrightarrow{j}) \\ &= -1 \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 3\\0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1&3\\-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1&3\\-2&0 \end{pmatrix} \overrightarrow{v} \end{aligned}\]

기저의 변환과 좌표

• 벡터 \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) 는 단위벡터 \(\overrightarrow{i}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \overrightarrow{j}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) 를 기저로 사용하는 직교좌표계의 좌표 \((x, y) = (-1, 2)\) 을 의미함

  \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix} &= -1 \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]

• 선형변환 \(L(\overrightarrow{v})\) 를 통해 입력벡터 \(\overrightarrow{v}\) 는 출력벡터 \(\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) 로 변환되었음

  \[\begin{aligned} L(\overrightarrow{v}) &= \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} \end{aligned}\]

• 출력벡터 \(\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\) 는 벡터 \(L(\overrightarrow{i})=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}, L(\overrightarrow{j})=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) 를 기저로 사용하는 변환된 좌표계의 좌표 \((x, y) = (-1, 2)\) 을 의미함

  \[\begin{aligned} \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix} &= -1 \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix} \end{aligned}\]

특별한 선형변환

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• Rotation Matrix : 반시계 방향으로 $\theta^{\circ}$ 회전하는 선형변환

  

  \[\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\]

• Scaling Matrix : $X$ 축을 $\alpha$ 배, $Y$ 축을 $\beta$ 배 늘리는 선형변환

  

  \[\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}\]

• Shearing Matrix : 각 축의 기저벡터를 변형시키는 선형변환

  

  • Horizontal Shearing Matrix(Shear in \(X\)) : \(X\) 축의 기저벡터는 그대로, \(Y\) 축의 단위벡터는 \(\begin{pmatrix} s\\1 \end{pmatrix}\) 으로 변형시키는 선형변환

    \[\begin{pmatrix} 1&s\\0&1 \end{pmatrix}\]

  • Vertical Shearing Matrix(Shear in \(Y\)) : \(Y\) 축의 기저벡터는 그대로, \(X\) 축의 단위벡터는 \(\begin{pmatrix} 1\\s \end{pmatrix}\) 으로 변형시키는 선형변환

    \[\begin{pmatrix} 1&0\\s&1 \end{pmatrix}\]

  • Arbitrary Shearing Matrix : \(X\) 축의 기저벡터는 \(\begin{pmatrix} 1\\ t \end{pmatrix}\) 으로, \(Y\) 축의 단위벡터는 \(\begin{pmatrix} s\\ 1 \end{pmatrix}\) 으로 변형시키는 선형변환

    \[\begin{pmatrix} 1&s\\ t&1 \end{pmatrix}\]

Determinant

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• 행렬식(Determinant; $det$) : 행렬로 표현되는 선형변환의 어떤 특성을 표현하는 값

  \[\vert A \vert = \displaystyle\sum_{\sigma \in S_n} (sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma_{i}})\]
  • $S_n$ : ${1,2,\cdots,n}$ 의 모든 순열
  • $\sigma_i$ : $S_n$ 의 원소 중 하나인 $\sigma$ 의 $i$ 번째 원소
  • $sgn(\sigma)$ : 주어진 순열을 연속적으로 짝수만큼 움직였을 때 재정렬되면 $1$, 아니면 $-1$의 값을 가지는 규칙

• 행렬식의 기하학적 의미 : 행렬 $A$ 에 의한 선형변환이 변화시키는 면적의 비율 $c$

  

• $det(A)=0$ 인 경우의 기하학적 의미

  \[\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 4&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \overrightarrow{a_1} & \overrightarrow{a_2} \end{bmatrix} \end{aligned}\]

  • $det(A)=0$ 이면 행렬 $A$ 의 열벡터는 선형 종속임

    \[\begin{aligned} \overrightarrow{a_1} &= 2 \times \overrightarrow{a_2} \end{aligned}\]

  • $A$ 에 의한 선형변환은 모든 점을 $1$ 차원 직선에 $mapping$ 하여 그 면적을 $0$ 으로 만듦

    \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} 4&2 \\ 2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}\]
• 해석
  • $n \times n$ 정방행렬에 대하여 그 행렬식이 $0$ 이 아닌 경우 그 역행렬이 존재함
  • $n \times n$ 정방행렬에 대하여 그 행렬식이 $0$ 이 아닌 경우 그 계수는 $n$ 임
  • $n \times n$ 정방행렬에 대하여 그 행렬식이 $0$ 이 아닌 경우 이를 구성하는 구성하는 모든 벡터는 선형 독립임
  • $n \times n$ 정방행렬에 대하여 그 행렬식이 $0$ 이 아닌 경우 이를 구성하는 구성하는 모든 벡터를 $span$ 하여 $n$ 차원 공간을 구성할 수 있음
• 성질
  • $det(\alpha)=\alpha$
  • $det(I)=1$
  • $det(A)=det(A^T)$
  • $det(A^{-1})=det(A)^{-1}$
  • $det(AB)=det(A) \times det(B)$
  • $det(\alpha \times A_n)=\alpha^n \times det(A_n)$
  • $\begin{vmatrix} \cdots & \overrightarrow{a_i} \cdots \overrightarrow{a_j} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} \cdots & \overrightarrow{a_j} \cdots \overrightarrow{a_i} \end{vmatrix}$
  • $\begin{vmatrix}\alpha \times a & \alpha \times b \ c & d\end{vmatrix} = \alpha \times \begin{vmatrix}a&b\ c&d\end{vmatrix}$
• 계산 방법
  • $det(A_2)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
  • 삼각행렬에 대하여 그 행렬식은 대각항 원소들의 곱으로 구할 수 있음
  • $3\times 3$ 이상의 정방행렬에 대하여 그 행렬식은 가우스-조르단 소거법(Gaussian Elimination)으로 구함