Space (2) Measure Space

Space

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• 공간(Space): 어떤 종류의 수학적 대상을 모은 집합에 대하여, 그 집합 위에 고유의 연산 법칙을 제공하는 연산 구조가 부여되어 그 구조적 성질을 정의하고, 이로부터 유도 가능한 각종 성질들을 논의할 수 있는 수학적 시스템
  • 위상 공간(Topological Space): 어떤 종류의 수학적 대상에 열림을, 그 대상을 다루는 연산자에 연속성을 부여하기 위한 연산 구조
  • 측도 공간(Measure Space): 어떤 종류의 수학적 대상에 크기의 측정 가능성을 부여하기 위한 연산 구조
• 연산자(Operator): 어떠한 구조가 부여된 공간 내부 대상의 성질이나 관계 등을 수학적으로 다루는 행위자
  • 연산 법칙(Operation Law): 연산이 작동하는 방식과 규칙을 규정하는 공리
    • 공리(Axiom): 그 구조를 정의하기 위하여 기초적으로 받아들이는 명제

  • 연산 구조(Structure): 연산이 작동하는 방식이 공리적으로 고정된 시스템

  • 구조적 성질(Structural Property): 구조로 인하여 필연적으로 성립되는 전제적 성질

Measure Space

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• 측도 공간(Measure Space): 원시 집합(underlying set) $\Omega$ 위에 정의된 시그마 대수(sigma-algebra)에 수치적 크기 개념을 부여하는 공간

  \[\begin{aligned} (\Omega, \mathcal{F}, \mu) \end{aligned}\]

  • 시그마 대수(Sigma-Algebra): 원시 집합(underlying set) $\Omega$ 의 멱집합(power set) $\mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega}$ 으로서, $\Omega$ 의 부분집합 $A \subseteq \Omega$ 들의 집합

    \[\begin{aligned} \mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega} \end{aligned}\]
    • $\Omega \in \mathcal{F}$
    • $A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^{C} \in \mathcal{F}$
    • $A_{1}, A_{2}, \cdots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}} \in \mathcal{F}$

  • 측도(Measure): 측정 단위로서 시그마 대수 $\forall A \in \mathcal{F}$ 에 대하여 비음수성, 영집합, 가산 가법성을 만족하는 함수

    \[\begin{aligned} \mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] \end{aligned}\]
    • 비음수성(Non-Negativity): $\mu(A) \ge 0$
    • 영집합(Null Empty Set): $\mu(\emptyset) = 0$
    • 가산 가법성(Countable Additivity): $A_{i} \in \mathcal{F}, A_{i} \cap A_{j \ne i} = \emptyset \Rightarrow \mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right) = \sum_{i=1}^{\infty}{\mu(A_{i})}$

• 푸시포워드 측도 공간(Pushforward Measure Space): 시그마 대수 간의 구조를 보존하는 사상 함수 $X$ 를 통해 원래의 측도 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ 으로부터 유도된 새로운 측도 공간 $(\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mu_{X})$

  \[\begin{aligned} (\Omega, \mathcal{F}, \mu) \rightarrow (\mathcal{X}, \mathcal{B}, \mu_{X}) \end{aligned}\]

  • 사상 함수(Mapping Function): 실험 공간(Sampling Space) $\omega \in \Omega$ 을 관측 공간(Observation Space) 혹은 이미지 공간(Image Space) $x \in \mathcal{X}$ 에 대응시키는 함수

    \[\begin{aligned} X: \Omega \rightarrow \mathcal{X} \end{aligned}\]

  • 보렐 시그마 대수(Borel Sigma-Algebra): 이미지 공간(Image Space) $\mathcal{X}$ 위 열린 구간 $(a,b)$ 들로 생성되는 최소의 시그마 대수

    \[\begin{aligned} \mathcal{B}(\mathcal{X}) := \sigma(\{(a,b) \subset \mathcal{X}\}) \end{aligned}\]
    • $\forall B \in \mathcal{B}(\mathcal{X}) \Rightarrow X^{-1}(B) \in \mathcal{F}(\Omega)$
    • $\mu_{X}(B):=\mu(X^{-1}(B))$

• L-p 공간(Lebesgue p-integrable space): 절대값을 $p$ 제곱한 후 르베그 적분(Lebesgue integral)한 값이 유한한 함수들로 구성된 공간

  \[\begin{aligned} L^{p}(\mathcal{X}, \mu) := \left\{f:\mathcal{X} \to \mathbb{R} \mid \int_{\mathcal{X}}{\vert f(x) \vert^{p} \text{d} \mu(x)} < \infty \right\} \end{aligned}\]

  • 르베그 측도(Lebesgue Measure): 실수 공간 $\mathbb{R}^{N}$ 위에서 각종 개념의 직관적 크기를 정의한 측도

    \[\begin{aligned} \text{d}\mu(x) := \text{d}x, \quad \forall x \in \mathbb{R}^{N} \end{aligned}\]

  • 르베그 적분(Lebesgue Integral): 사상 함수 $X: \Omega \to \mathcal{X}$ 를 통해 실수 공간 $\mathcal{X}$ 위에 정의된 보렐 시그마 대수 $\forall B \in \mathcal{B}$ 에 대하여 정의되는 르베그 측도 $x \in B$ 를 기준으로 함수 $f: \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ 값의 누적 크기를 계산하는 도구로서, 원시 집합 $\Omega$ 에 크기를 부여하고자 하는 개념을 함수로 전환하는 장치

    \[\begin{aligned} \underbrace{M(f)}_{\text{area}} &:=\int_{x \in B}{\overbrace{f(x)}^{\text{height}}}\underbrace{\text{d}x}_{\text{width}} \end{aligned}\]

• 밀도(Density): 원 측도(Measure)의 기준 측도(Reference Measure) 기준 어떠한 개념의 단위당 크기

  밀도 존재 정리(Randon-Nickodym Theorem)
  두 측도 $\nu, \mu$ 가 주어졌을 때, $\nu$ 가 $\mu$ 에 대하여 절대 연속(absolute continuity)이면($\nu \ll \mu$) $\forall A \in \mathcal{F}$ 에 대하여 $\nu(A) = \int_{A}{f\text{d}\mu}$ 을 만족하는 $f: \Omega \to [0,\infty]$ 가 존재한다. 이때 함수 $f:=\text{d}\nu / \text{d} \mu$ 를 $\mu$ 에 대한 $\nu$ 의 밀도 함수라고 한다. 또한 측도 $\mu$ 를 원 측도 $\nu$ 의 기준 측도(Reference Measure)라고 한다.

  \[\begin{aligned} \nu(x \in B) = \int_{x \in B}{\text{d}\nu(x)} = \int_{x \in B}{\frac{\text{d}\nu(x)}{\text{d}\mu(x)}}\text{d}\mu(x) \end{aligned}\]

Probability Space

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• 확률 공간(Probability Space): 결과(outcome) $\omega$ 의 전체 집합 $\Omega$ 위에 정의된 사건(event) $\omega \in A$ 의 집합 $A \in \mathcal{F} \subseteq 2^{\Omega}$ 에 대하여 확률을 부여하는 공간

  \[\begin{aligned} (\Omega, \mathcal{F}, P) \end{aligned}\]

  • 확률 변수(Random Variable): 결과 $\omega \in \Omega$ 를 실수 공간 $x \in \mathcal{X}$ 에 대응시키는 사상 함수

    \[\begin{aligned} X: \Omega \rightarrow \mathcal{X} \end{aligned}\]

  • 확률 측도(Probability Measure): $P_{X}(\mathcal{X})=1$ 인 특수한 측도

    \[\begin{aligned} P_{X} : \mathcal{B}(\mathcal{X}) \rightarrow [0,1] \end{aligned}\]

  • 확률 밀도(Probability Density): 확률 측도 $P_{X}$ 의 기준 측도 $x$ 단위당 확률의 상대량

    \[\begin{aligned} P_{X}(x \in B) = \int_{x \in B}{p(x)}\text{d}x \end{aligned}\]

• example Gaussian Prob. Dist.

  • Random Variable:

    \[\begin{aligned} X: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{aligned}\]

  • Probability Measure:

    \[\begin{aligned} P_{X} &= \mathcal{N}(\mu, \sigma^{2}) \end{aligned}\]

  • Probability Density Function:

    \[\begin{aligned} p(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right] \end{aligned}\]