Paired Sample t-Test

Paired Sample t-Test

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• 쌍체표본 t 검정(Paired Sample t-Test) : 쌍을 이루는 두 변수 간 차이의 평균이 기대되는 값($\mu_0$)과 통계적으로 유의한 차이가 있는지 검정하는 방법

  주식시장의 변동은 일부 투자자들로 하여금 주식을 팔고 그들의 자금을 더 안전한 투자로 이동시키게 만든다. 최근 주식시장의 변동이 주식 보유에 어느 정도 영향을 미쳤는지를 결정하기 위해 주식을 소유하고 있는 170 명을 대상으로 서베이를 실시하였다. 실험 대상자들의 재작년 말과 작년 말 주식 보유액을 기록하였다. 주식 보유액이 감소했다고 추론할 수 있는가?

  • 쌍체표본(Paired Sample) : 동일한 대상에 대하여 두 번의 측정을 통해 얻은 표본, 혹은 변수 간 상관관계가 존재하는 두 대상에 대하여 측정을 통해 얻은 표본

• 모수(Parameter) 정의:

  \[\begin{aligned} \mu_{D} &= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{\left(X^{(A)}_{i}-X^{(B)}_{i}\right)} \end{aligned}\]

• 점 추정량(Point Estimator) 도출:

  \[\begin{aligned} \overline{X}_{D} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left(X^{(A)}_{i}-X^{(B)}_{i}\right)} \end{aligned}\]
• 가설(Hypothesis) 설정:
  • $H_{0}:\quad \mu_{D} = \mu_{0}$
  • $H_{1}:\quad \mu_{D} \ne \mu_{0}$

• 검정통계량(Test Statistic):

  \[\begin{aligned} T \sim t(\nu) \end{aligned}\]

Test Statistic

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\[\begin{aligned} T &= \frac{\overline{X}-\mu_{0}}{s_{D} / \sqrt{n}} \end{aligned}\]

• \(\mathbb{E}\left[\overline{X}_{D}\right]\):

  \[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[ \overline{X}_{D}\right] &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left(X^{(A)}_{i}-X^{(B)}_{i}\right)}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}{X^{(A)}_{i}}-\sum_{i=1}^{n}{X^{(B)}_{i}}\right)\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(A)}_{i}}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(B)}_{i}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(A)}_{i}}\right]-\mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(B)}_{i}}\right]\\ &= \mathbb{E}\left[\overline{X}_{A}\right]-\mathbb{E}\left[\overline{X}_{B}\right]\\ &= \mu_A - \mu_B\\ &= \mu_{D} \end{aligned}\]

• \(\mathrm{Var}\left[\overline{X}\right]\):

  \[\begin{aligned} \mathrm{Var}\left[\overline{X}\right] &= \mathrm{Var}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left(X^{(A)}_{i}-X^{(B)}_{i}\right)}\right]\\ &= \mathrm{Var}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(A)}_{i}}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X^{(B)}_{i}}\right]\\ &= \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{A}-\overline{X}_{B}\right]\\ &= \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{A}\right] + \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{B}\right] - 2 \times \mathrm{Cov} \left[\overline{X}_{A}, \overline{X}_{B}\right]\\ &=\frac{s_{A}^{2}}{n}+\frac{s_{B}^{2}}{n}-2\times\frac{r_{A,B}}{n}\\ &=\frac{1}{n}\left(s_{A}^{2} + s_{B}^{2} - 2 \times r_{A,B}\right)\\ &=\frac{s_{D}^2}{n} \end{aligned}\]

• Standardized $T$:

  \[\begin{aligned} T &= \frac{\overline{X}_{D}-\mu_{0}}{s_{D}/\sqrt{n}}\\ &= \frac{\overline{X}_{D}-\mu_{D}}{s_{D}/\sqrt{n}} + \frac{\mu_{D}-D_{0}}{s_{D}/\sqrt{n}}\\ &= \frac{\mu_{D}-\mu_{0}}{s_{D}/\sqrt{n}} \quad (\because \mathbb{E}\left[\overline{X}_{D}\right]=\mu_{D}) \end{aligned}\]