Shapiro-Wilk Test

Shapiro-Wilk Test

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• 정규성 검정(Shapiro-Wilk Test): 표본 순위와 표준정규분포에서 기대되는 순위 값의 선형 결합을 비교함으로써 표본이 정규 분포를 따르는지 여부를 검정하는 방법

• 귀무가설과 대립가설 설정:
  • $H_{0}:\quad X \sim N(\mu, \sigma^2)$
  • $H_{1}:\quad X \not\sim N(\mu, \sigma^2)$

• 검정통계량 정의:

  \[\begin{aligned} W &= \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} X_{i}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} - \overline{X}\right)^2} \end{aligned}\]

• 귀무가설 하 검정통계량의 분포 생성:

  \[\begin{aligned} W_{N} \sim f_{W_{N}}(W) \end{aligned}\]

• 표본의 검정통계량 $W_{\mathrm{obs}}$ 의 $\mathrm{p-value}$ 도출:

  \[\begin{aligned} \mathrm{p-value} = F_{W_{N}}(W_{\mathrm{obs}}) = P(W \le W_{\mathrm{obs}}) \end{aligned}\]

• 유의수준 $\alpha$ 하 결론:

  • $F_{W}(W) \le \alpha$ : $X \not\sim N(\mu, \sigma^2)$

    귀무가설이 참이라는 가정 하에 도출된 검정통계량보다 극단적인 실현값이 발생할 가능성이 현저히 낮다. 이는 귀무가설이 참이라는 가정 하에 표본이 실현될 가능성이 현저히 낮음을 의미한다. 따라서 유의수준 $\alpha$ 하 귀무가설을 기각한다.

  • $\alpha < F_{W}(W)$ : $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

    귀무가설이 참이라는 가정 하에 도출된 검정통계량보다 극단적인 실현값이 발생할 가능성이 어느 정도 존재한다. 이는 귀무가설이 참이라는 가정 하에 표본이 실현될 가능성이 현저히 낮다고 볼 수 없음을 의미한다. 따라서 유의수준 $\alpha$ 하 귀무가설을 기각하지 않는다.

Test Statistic

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\[\begin{aligned} W &= \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} X_{i}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i} - \overline{X}\right)^2} \end{aligned}\]

• $\mathbf{X}$ : 표본의 관측치 $X_{i}$ 를 크기에 따라 오름차순 정렬한 순위 통계량 벡터

  \[\begin{aligned} \mathbf{X} &= \begin{pmatrix} X_{1}&X_{2}&\cdots&X_{n} \end{pmatrix}^{T} \end{aligned}\]

• $\overline{X}$ : 표본평균

  \[\begin{aligned} \overline{X} &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}} \end{aligned}\]

• $\mathbf{b}$ : 순위 통계량 벡터 $\mathbf{X}$ 의 계수 벡터

  \[\begin{aligned} \mathbf{b} &=\frac{\mathbf{m}^{T}\mathbb{V}^{-1}}{\Vert \mathbb{V}^{-1}\mathbf{m} \Vert} \end{aligned}\]

  • $\mathbf{m}$ : 기대 순위 통계량 벡터

    \[\begin{aligned} \mathbf{m} &=\begin{pmatrix} \mathbb{E}\left[X_{1}\right]&\mathbb{E}\left[X_{2}\right]&\cdots&\mathbb{E}\left[X_{n} \right] \end{pmatrix}^{T} \end{aligned}\]

  • $\mathbb{V}$ : 기대 순위 통계량의 공분산 행렬

    \[\begin{aligned} \mathbb{V}_{i,j}=\mathrm{Cov}\Big(\mathbb{E}\left[X_{i}\right],\mathbb{E}\left[X_{j}\right]\Big) \end{aligned}\]

Generate Dist. of Test Stats

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1. 표준정규분포로부터 $n$ 개의 관측치로 구성된 표본을 반복적으로 생성

   \[\begin{aligned} \mathbf{Y}^{(k)} &= \begin{pmatrix} Y_{1}^{(k)}&Y_{2}^{(k)}&\cdots&Y_{n}^{(k)} \end{pmatrix}^{T} \quad \text{for} \quad Y^{(k)}_{i} \sim N(0,1) \end{aligned}\]

2. 표본 $\mathbf{Y}^{(1)},\mathbf{Y}^{(2)},\cdots$ 에 대하여 검정통계량 도출

   \[\begin{aligned} W^{(k)} &=\frac{\left(\sum_{i=1}^{k} \beta_{i} Y_{i}\right)^2}{\sum_{i=1}^{k}\left(Y_{i} - \overline{Y}\right)^2} \end{aligned}\]

3. $n$ 의 크기에 따른 $W$ 의 경험적 분포 도출

   \[\begin{aligned} W_{N} \sim f_{W_{N}}(W) \end{aligned}\]