Taylor Series

극점과 극값

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• 극대점과 극대값
  • 정의 : 함수 $y=f(x)$ 에 대하여 $x=c$ 에 근접한 모든 $x$ 가 $f(c) \ge f(x)$ 인 경우
    • $y=f(x)$ 는 $x=c$ 에서 극대값을 가진다고 하고,
    • 점 $(x=c,y=f(c))$ 를 $y=f(x)$ 의 극대점이라고 하고,
      • 극대점(Local Maximum Point) : 주위 모든 점의 함수값 이상의 함수값을 갖는 점
    • 이때의 함수값 $f(c)$ 를 $y=f(x)$ 의 극대값이라고 함
      • 극대값(Local Maximum Value) : 극대점이 갖는 함수값
  • 성질
    • 함수 $y=f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 미분 가능하고, $x=c(a<c<b)$ 에서 극대값을 가지면 다음을 만족함
      • $\displaystyle\frac{d}{dx}f(c)=f^\prime(c)=0$
      • $\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(c)=f^{\prime\prime}(c)<0$
• 극소점과 극소값
  • 정의 : 함수 $y=f(x)$ 에 대하여 $x=c$ 에 근접한 모든 $x$ 가 $f(c) \le f(x)$ 인 경우
    • $y=f(x)$ 는 $x=c$ 에서 극소값을 가진다고 하고,
    • 점 $(x=c,y=f(c))$ 를 $y=f(x)$ 의 극소점이라고 하고,
      • 극대점(Local Minimum Point) : 주위 모든 점의 함수값 이상의 함수값을 갖는 점
    • 이때의 함수값 $f(c)$ 를 $y=f(x)$ 의 극소값이라고 함
      • 극대값(Local Minimum Value) : 극대점이 갖는 함수값
  • 성질
    • 함수 $y=f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 미분 가능하고, $x=c(a<c<b)$ 에서 극소값을 가지면 다음을 만족함
      • $\displaystyle\frac{d}{dx}f(c)=f^\prime(c)=0$
      • $\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(c)=f^{\prime\prime}(c)>0$

테일러 급수

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• 테일러 다항식(Taylor Polynomial) : $x=a$ 에서 미분 가능한 함수 $y=f(x)$ 에 대하여, $y=f(x)$ 와 $x=a$ 에서 근사하는 $n$ 차 함수

  \[\begin{aligned} f(x) &\approx \sum^{k=0}_{n}{\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^{k}}\\ &= f(a) + f^{\prime}(a)(x-a) + \frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^{2} + \cdots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} \end{aligned}\]

• 선형 근사(Linear Approximation) : $y=f(x)$ 와 $x=a$ 에서 근사하는 $1$ 차 함수 혹은 그러한 함수를 찾는 방법

  \[f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x-a)\]

• 테일러 급수(Taylor Series) : $n$ 이 무한대로 발산하는 경우 테일러 다항식

  \[\begin{aligned} f(x) &\approx \sum^{k=0}_{\infty}{\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^{k}}\\ &= f(a) + f^{\prime}(a)(x-a) + \frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^{2} + \cdots + \frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^{n} + \cdots \end{aligned}\]

• 매클로린 급수(Maclaurin’s Series) : $a=0$ 인 경우 테일러 급수

  \[\begin{aligned} f(x) &\approx \sum^{k=0}_{\infty}{\frac{f^{k}(0)}{k!}x^{k}}\\ &= f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^{2} + \cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n} + \cdots \end{aligned}\]