Vector

What? Vector

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• 벡터(Vector) : 벡터 공간의 원소로서 크기와 원점으로부터 뱡향을 가지는 물리량
  • 원소(Element) : 벡터를 구성하는 요소
  • 차원(Dimension) : 원소의 갯수

  • 부분벡터(Sub-Vector) : 임의의 벡터 $\overrightarrow{a}$ 에 대하여 그 부분 공간으로 구성된 벡터

    \[\overrightarrow{a_{r:s}}=\begin{pmatrix}a_r\\a_{r+1}\\a_{r+2}\\\vdots\\a_{s} \end{pmatrix}\]
• 특수한 벡터

  • 영벡터(Zero Vector) : 벡터 공간에서의 덧셈에 대한 항등원이 되는 벡터

    \[\overrightarrow{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\]

  • 단위벡터(Unit Vector) : 길이가 1인 벡터

    \[(\overrightarrow{e_{i}})_{j}=\begin{cases}1,\;if\;j=i\\0,\;if\;j \ne i\end{cases}\] \[\overrightarrow{e_{1}}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{e_{2}}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{e_{3}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots\\0 \end{pmatrix}\]
• 벡터의 기하학적 해석
  • 직각좌표계에 표현된 벡터 공간의 원소
    • 직각좌표계(Catesian Coordinate System) : 좌표축과 평행한 단위벡터끼리 항상 서로 수직한 모든 좌표계
  • 좌표평면상 하나의 점
  • 좌표평면상 원점의 위치 이동

  • 좌표평면상 단위벡터의 선형 결합

    \[\begin{pmatrix}3\\2 \end{pmatrix} = 3 \times \overrightarrow{e_{1}} + 2 \times \overrightarrow{e_{2}}\]

Vector Operation

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• 스칼라-벡터 곱셈

  • 스칼라와 벡터의 곱셈은 벡터의 모든 원소에 대한 스칼라 곱으로 정의함

    \[\alpha \times \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}\alpha \times a_{1}\\\alpha \times a_{2}\\\vdots\\\alpha \times a_{n}\end{pmatrix}\]

  • 기하학적으로 봤을 때 이는 벡터를 스칼라 비율로 확대 혹은 축소하는 작업으로 해석할 수 있음

    

  • 벡터에 음수를 곱하면 벡터의 방향이 원점에 대하여 반대가 됨

    

• 덧셈과 뺄셈

  • 차원이 $n$ 으로 동일한 벡터 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 의 덧셈 혹은 뺄셈을 대응 원소의 합 혹은 차로 정의함

    \[\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\\vdots\\a_{n}+b_{n} \end{pmatrix}\]

  • 기하학적으로 봤을 때 이는 벡터 $\overrightarrow{a}$ 를 방향 $\overrightarrow{b}$ 으로 폭 $\Vert \overrightarrow{b} \Vert$ 만큼 평행이동하는 작업으로 해석할 수 있음

    • 덧셈

      

    • 뺄셈

      

Linear Combination

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• 선형 결합(Linear Combination)

  \[\alpha_{1}\overrightarrow{a_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{a_{2}} + \cdots + \alpha_{p}\overrightarrow{a_{p}}\]
  • 차원이 $n$ 으로 동일한 임의의 벡터와 스칼라에 대하여, 각 항에 스칼라를 곱하거나 상호 더함으로써 일련의 항으로 구성하는 작업
• 선형 종속(Linearly Dependent) : 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현 가능한 경우

  • 좌표평면상에서 어떤 벡터가 다른 벡터들을 선형 결합한 결과와 겹치는 경우

    

  • $n$ 차원 벡터 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{p}}$ 와 스칼라 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{p}$ 에 대하여 다음을 만족하는 경우

    \[\alpha_{1}\overrightarrow{a_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{a_{2}} + \cdots + \alpha_{p}\overrightarrow{a_{p}} = 0, \alpha^{\forall} \ne 0\]
• 선형 독립(Linearly Independent) : 어떤 벡터가 다른 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없는 경우

  • 좌표평면상에서 어떤 벡터가 다른 벡터들을 선형 결합한 결과와 겹치지 않는 경우

    

  • $n$ 차원 벡터 $\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{p}}$ 와 스칼라 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots , \alpha_{p}$ 에 대하여 다음을 만족하는 경우

    \[\alpha_{1}\overrightarrow{a_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{a_{2}} + \cdots + \alpha_{p}\overrightarrow{a_{p}} = 0 \Rightarrow \alpha^{\forall} = 0\]
• 기저(Basis)
  • $n$ 차원에 대하여 선형 독립인 벡터들의 집합
  • $n$ 차원 기저벡터의 최대 갯수는 $n$ 개임

• $span$

  \[\overrightarrow{x} = \alpha_{1}\overrightarrow{a_{1}} + \alpha_{2}\overrightarrow{a_{2}} + \cdots + \alpha_{n}\overrightarrow{a_{n}}\]
  • 주어진 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있는 벡터의 집합, 혹은 그러한 작업
  • $n$ 차원의 모든 기저벡터들을 $span$ 하면 해당 공간을 모두 나타낼 수 있음

Inner Product and Norm

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• 내적(Inner Product)

  \[\begin{aligned} \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\\ &=\overrightarrow{a^{T}}\overrightarrow{b}\\ &=\sum_{i}^{n}a_{i}b_{i} \end{aligned}\]
  • 차원이 $n$ 으로 동일한 두 벡터에 대하여 이를 대표하는 하나의 스칼라로 수렴하는 작업

• 유클리디안 노름(L-2 Norm)

  \[\Vert \overrightarrow{a} \Vert=\sqrt{\overrightarrow{a}^T\cdot\overrightarrow{a}}\]

  • 정의 : 벡터의 규모(Magnitude) 혹은 길이(Length)

  • 성질

    • $\Vert \overrightarrow{a} \Vert \ge0$
    • $\Vert \overrightarrow{a} \Vert =0\Rightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
    • $\Vert \alpha\overrightarrow{a} \Vert =\vert \alpha \vert \times \Vert \overrightarrow{a}\Vert$
    • $\Vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\Vert\le\Vert\overrightarrow{a}\Vert+\Vert\overrightarrow{b}\Vert$

• 코사인 유사도(Cosine Similarity) : 두 벡터의 사이각 $\theta$ 의 코사인 값을 이용하여 측정한 벡터 간 유사도

  \[cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\Vert\overrightarrow{a}\Vert\times\Vert\overrightarrow{b}\Vert}\]
  • $\theta$ : 임의의 벡터 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ 를 좌표평면상에 나타냈을 때, 두 벡터가 이루는 각도

  • $\Vert\overrightarrow{a}\Vert \cos{\theta}$ : $\overrightarrow{a}$ 를 $\overrightarrow{b}$ 에 정사영(Projection)하여 얻은 벡터의 길이

    

  • 해석
    • $-1\le \cos{\theta} \ge1$
    • $\cos{\theta} = -1$ : 음의 유사도를 가진다고 볼 수 있으며 기하학적으로 상반된 방향성을 가짐
    • $\cos{\theta} = 1$ : 양의 유사도를 가진다고 볼 수 있으며 기하학적으로 동일한 방향성을 가짐
    • $\cos{\theta} = 0$ : 유사하다고 볼 수 없으며 기하학적으로 직교함

• 직교정규벡터(Orthonomal Vector) : 임의의 벡터에 대하여 해당 벡터와 직교하면서 그 노름이 1인 벡터

  • 정규벡터(Normal Vector) : 노름이 1인 벡터
  • 상호직교(Mutually Orthonal)

    • 수학적으로 봤을 때 내적값이 0인 관계

      \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\]

    • 기하학적으로 봤을 때 사잇각이 90도인 관계

      \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||\times||\overrightarrow{b}||}=cos90^\circ\]