Welch’s t-Test

Welch’s t-Test

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• 웰치의 t 검정(Welch’s t-Test): 독립표본 t 검정(Independent Samples t-Test) 중 이분산 t 검정으로서($\sigma_{1} \ne \sigma_{2}$), 등분산 가정이 성립하지 않는 두 독립표본의 평균이 통계적으로 유의한 차이가 있는지 검정하는 방법

  한 메이저 리그 야구경기를 마무리하는 데 걸리는 시간에 대한 우려가 팬과 구단주 사이에서 점차 더 커지고 있다. 이 문제의 심각성을 평가하기 위해서, 한 통계 전문가는 5년 전과 금년에 임의표본을 구성하는 경기들을 마무리하는데 걸린 시간을 기록하였다. 한 경기를 마무리하는 데 걸리는 시간이 5년 전보다 금년이 더 길다고 결론을 내릴 수 있는가?

• 모수(Parameter) 정의:

  \[\begin{aligned} \mu_{1} - \mu_{2} \end{aligned}\]

• 점 추정량(Point Estimator) 도출:

  \[\begin{aligned} \overline{X}_{1}-\overline{X}_{2} \end{aligned}\]
• 가설(Hypothesis) 설정:
  • $H_{0}:\quad \mu_1-\mu_2=D_{0}$
  • $H_{1}:\quad \mu_1-\mu_2 \ne D_{0}$

• 검정통계량(Test Statistic):

  \[\begin{aligned} T \sim t(\nu_W) \end{aligned}\]

• Welch-Satterthwaite 자유도(Welch-Satterthwaite Degree of Freedom): \(\overline{X}_{1} - \overline{X}_{2}\) 의 종합적인 변동성을 각 표본들이 변동성에 대하여 기여한 정도로써 가중 평균한 값

  \[\begin{aligned} \nu_{W} &= \frac{\left(s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}\right)^{2}}{(s_{1}^{2}/n_{1})/\nu_{1} + (s_{2}^{2}/n_{2})/\nu_{2}} \end{aligned}\]

Test Statistic

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\[\begin{aligned} T &= \frac{(\overline{X}_1-\overline{X}_2)-D_{0}}{\sqrt{s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}} \end{aligned}\]

• \(\mathbb{E}\left[\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right]\):

  \[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right] &= \mathbb{E}\left[\overline{X}_{1}\right] - \mathbb{E}\left[\overline{X}_{2}\right]\\ &= \mu_{1} - \mu_{2} \end{aligned}\]

• \(\mathrm{Var}\left[\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right]\):

  \[\begin{aligned} \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}\right] &= \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{1}\right] + \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{2}\right] - 2 \times \mathrm{Cov}\left[\overline{X}_{1}, \overline{X}_{2}\right]\\ &= \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{1}\right] + \mathrm{Var}\left[\overline{X}_{2}\right] \quad (\because \mathrm{Cov}\left[\overline{X}_{1}, \overline{X}_{2}\right] = 0)\\ &= \frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}} \end{aligned}\]

• Standardized $T$:

  \[\begin{aligned} T &= \frac{(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2})-D_{0}}{s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}}\\ &= \frac{(\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}} + \frac{(\mu_{1}-\mu_{2})-D_{0}}{s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}}\\ &= \frac{(\mu_{1}-\mu_{2})-D_{0}}{s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}} \quad (\because \mathbb{E}\left[\overline{X}\right]=\mu) \end{aligned}\]