Interaction Terms

Interaction Terms

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• 상호작용 효과(Interaction Effect) : 두 개 이상의 설명변수가 결합하여 반응변수에 미치는 영향이, 각 설명변수의 주효과를 가산한 것과 다를 때 발생하는 효과로서, 한 설명변수가 반응변수에 미치는 효과가 다른 설명변수의 수준에 영향을 받는 경우 발생함

  \[\begin{aligned} y^{(i)} &= \beta_{0} + \beta_{1} \cdot x_{1}^{(i)} + \beta_{2} \cdot x_{2}^{(i)} + \underbrace{\beta_{3} \cdot x_{1}^{(i)}x_{2}^{(i)}}_{\text{Interaction Term}} + \varepsilon^{(i)}\\ &= \beta_{0} + \underbrace{\left(\beta_{1} + \beta_{3} \cdot x_{2}^{(i)}\right)}_{\tilde{\beta}_{1}} \cdot x_{1}^{(i)} + \beta_{2} \cdot x_{2}^{(i)} + \varepsilon^{(i)}\\ &= \beta_{0} + \beta_{1} \cdot x_{1}^{(i)} + \underbrace{\left(\beta_{2} + \beta_{3} \cdot x_{1}^{(i)}\right)}_{\tilde{\beta}_{2}} \cdot x_{2}^{(i)} + \varepsilon^{(i)} \end{aligned}\]
  • 주효과(Main Effect; $\beta_{1}, \beta_{2}$) : 설명변수가 반응변수에 독립적으로 미치는 직접적인 효과
  • 시너지 효과(Synergy Effect; $\beta_{3}$) : 설명변수 간 상호작용을 통해 나타나는, 가산적이지 않은 효과

• 계층적 원리(Hierarchical Principle)

  교호작용 효과(Interaction Effect)의 유효성이 입증되어 모형에 포함하는 경우, 해당 교호작용을 구성하는 주효과(Main Effects)는 유효성 여부와 상관없이 모형에 포함해야 함. 주효과를 제외하는 경우 교호작용 효과 해석이 불분명해질 수 있기 때문임. 가령 실제 상호작용 효과가 아니라, 주효과의 부분적인 영향을 나타낼 수 있음.

Qualitative & Quantitative

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어느 신용카드 사에서 고객의 신용카드 대금에 관한 회귀 모형을 설계하고자 한다. 고객의 수입과 학생 여부에 관한 데이터를 확보하고 있다. 이때 수입과 학생 여부에 대한 교호작용 효과의 유효성을 알아보고자 한다.

• 지시 변수(Indicate Variable)

  \[d^{(i)} = \begin{cases}\begin{aligned} 1 \quad &\text{if student}\\ 0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned}\end{cases}\]

• 선형 회귀 모형

  학생 여부와 수입 간 교호작용 효과가 있다는 것보다는 학생일 때와 학생이 아닐 때 수입이 신용카드 대금에 미치는 영향력에 차이가 있다는 것으로 해석하는 것이 바람직함

  \[\begin{aligned} y^{(i)} &= \beta_{0} + \beta_{1} \cdot d^{(i)} + \beta_{2} \cdot x^{(i)} + \beta_{3} \cdot d^{(i)} x^{(i)} + \varepsilon^{(i)}\\ &= \begin{cases}\begin{aligned} \left(\beta_{0} + \beta_{1}\right) + \left(\beta_{2} + \beta_{3}\right) \cdot x^{(i)} + \varepsilon^{(i)} \quad &\text{if student}\\ \beta_{0} + \beta_{2} \cdot x^{(i)} + \varepsilon^{(i)} \quad &\text{otherwise} \end{aligned}\end{cases} \end{aligned}\]
  • $\beta_2$ : 학생이 아닌 사람의 $x$(Income) 단위 변동에 따른 $y$ 변동성
  • $\beta_2 + \beta_3$ : 학생인 사람의 $x$(Income) 단위 변동에 따른 $y$ 변동성